Модель биномиальной регрессии с одним предиктором имеет следующий вид: \[ p = \frac{e^{\beta_0 + \beta_1 x}}{1 + e^{\beta_0 + \beta_1 x}}, \] где \(p\) — вероятность «единицы», \(\beta_0\) и \(\beta_1\) — коэффициенты модели, \(x\) — значение предиктора.

Для краткости обозначим \(\beta_0 + \beta_1 x \equiv z\).

Необходимо доказать, что logit-преобразование \(\displaystyle \mathrm{logit}(p) = \ln \left(\frac{p}{1-p}\right)\) сделает логистическую функцию линейной. Иначе, \(\displaystyle \ln \left(\frac{p}{1-p}\right) = z\).

Доказательство

Подставим выражение для \(p\) в формулу логита: \[ \ln \left(\frac{p}{1-p}\right) = \ln \frac{\frac{e^z}{1+e^z}}{1 - \frac{e^z}{1+e^z}} \]

По свойствам логарифма, \[ \ln \left(\frac{p}{1-p}\right) = \ln \left(\frac{e^z}{1+e^z}\right) - \ln \left(1 - \frac{e^z}{1+e^z}\right) \]

Упрощаем вторую дробь: \[ \ln \left(\frac{p}{1-p}\right) = \ln \left(\frac{e^z}{1+e^z}\right) - \ln \left(\frac{1 + e^z - e^z}{1+e^z}\right) = \ln \left(\frac{e^z}{1+e^z}\right) - \ln \left(\frac{1}{1+e^z}\right) \]

По свойствам логарифма, \[ \ln \left(\frac{p}{1-p}\right) = \ln(e^z) - \ln(1 + e^z) - \big(\ln(1) - \ln(1 + e^z)\big) \\ \ln \left(\frac{p}{1-p}\right) = \ln(e^z) - \ln(1 + e^z) + \ln(1) + \ln(1 + e^z) \\ \ln \left(\frac{p}{1-p}\right) = \ln(e^z) + 0 \\ \ln \left(\frac{p}{1-p}\right) = z, \]

Q.E.D.

Таким образом, \(\displaystyle \ln \left(\frac{p}{1-p}\right) = \beta_0 + \beta_1 x\), то есть логистическая кривая становится прямой.