Что такое матрица?

«Увы, невозможно объяснить, что такое матрица. Ты должен увидеть это сам.»
Морфеус (Матрица, 1999)

Матрица выглядит как таблица чисел, записанных в определенном порядке. Например, вот так:

\[ \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} 1 & 6 & 11 \\ 2 & 7 & 13 \\ 3 & 8 & 15 \\ 4 & 9 & 18 \\ 5 & 0 & 19 \end{pmatrix} \]

В данном случае это прямоугольная матрица \(\boldsymbol{A}\). Матрицы обозначаются заглавными буквами (иногда еще и полужирным написанием, чтобы отличать от обычных переменных). Количество строк и столбцов определяет размер матрицы. То есть данная матрица имеет размер 5×3 — \(\boldsymbol{A}_{5×3}\). При указании размера сначала указывается количество строк, затем — число столбцов.

Ну, и, собственно, всё. Это и есть матрица.

Откуда берутся матрицы?

Матрицы возникают при решении систем линейных уравнений. Рассмотрим систему.

\[ \begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1m}x_m = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2m}x_m = b_2 \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nm}x_m = b_n \end{cases} \]

Система состоит из \(n\) линейных уравнений относительно \(m\) неизвестных. Её можно переписать в матричном виде:

\[ \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}= \boldsymbol{b}, \]

где

\[ \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm} \end{pmatrix} ; \quad \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} ; \quad \boldsymbol{b}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \]

Здесь мы видим матрицу коэффициентов системы \(\boldsymbol{A}\). Размер этой матрицы \(n × m\). Также мы видим две особых матрицы \(\boldsymbol{x}\) и \(\boldsymbol{b}\). Количество столбов у них равно единице. Такие матрицы носят название векторов.

Но ведь мы можем написать вектор всего с одной строкой. Например, некоторый вектор \(\boldsymbol{c}\):

\[ \boldsymbol{c}= \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & \dots & c_k \end{pmatrix} \]

Для большей точности принята следующая терминология: векторы вида \(\boldsymbol{x}\) называют «вектор-столбец», а векторы вида \(\boldsymbol{c}\) называют «вектор-строка». Векторы часто также обозначаются полужирным начертанием, чтобы отличать их от отдельных значений.

Так как отдельные столбцы матрица мы можем представить в виде векторов, то матрицу \(\boldsymbol{A}\) можно написать еще одним способом: \[ \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{A}_2 & \dots & \boldsymbol{A}_m \end{pmatrix}, \]

где

\[ \boldsymbol{A}_i = \begin{pmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{ni} \end{pmatrix}, \quad 0<i \leq m \]

Ок, но остается вопрос: почему матричная запись равносильна причной нам записи системы?

Деталь 1

Есть две замечательные матрицы: единичная матрица \(\boldsymbol{E}\) (иногда \(\boldsymbol{I}\)) и нулевая матрица \(\boldsymbol{O}\): \[ \boldsymbol{E}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix} ; \quad \boldsymbol{O}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix} \]

Деталь 2

Матрица размером \(n × n\) называется квадратной матрицей.

Квадратная матрица, все элементы которой, кроме стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей.

Действия с матрицами

Сложение матриц

Сложение определено только для матриц одинакового размера.

\[ \boldsymbol{A}_{n×m} + \boldsymbol{B}_{n×m} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1m} + b_{1m} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2m} + b_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} + b_{n1} & a_{n2} + b_{n2} & \dots & a_{nm} + b_{nm} \end{pmatrix} \]

Свойства сложения матриц:

  1. \(\boldsymbol{A}+ \boldsymbol{B}= \boldsymbol{B}+ \boldsymbol{A}\) (коммутативность)
  2. \((\boldsymbol{A}+ \boldsymbol{B}) + \boldsymbol{C}= \boldsymbol{A}+ (\boldsymbol{B}+ \boldsymbol{C})\) (ассоциативность)
  3. \(\boldsymbol{A}+ \boldsymbol{O}= \boldsymbol{A}\) (существование нулевого элемента)
  4. \(\boldsymbol{A}+ (-\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{O}\) (существование противоположного элемента)

Все, описанное выше, справедливо для векторов.

Умножение матрицы на число

Умножение на вещественное число определено для любой матрицы \(n × m\).

\[ \lambda \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \dots & \lambda a_{1m} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \dots & \lambda a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda a_{n1} & \lambda a_{n2} & \dots & \lambda a_{nm} \end{pmatrix}, \; \forall \lambda \in \mathbb{R} \]

Свойства умножения матрицы на число:

  1. \(1 \cdot \boldsymbol{A}= \boldsymbol{A}\)
  2. \(-1 \cdot \boldsymbol{A}= -\boldsymbol{A}\)
  3. \(\lambda(\mu \boldsymbol{A}) = (\lambda \mu) \boldsymbol{A}\) (ассоциативность)
  4. \((\lambda + \mu) \boldsymbol{A}= \lambda \boldsymbol{A}+ \mu \boldsymbol{A}\) (дистрибутивность)
  5. \(\lambda (\boldsymbol{A}+ \boldsymbol{B}) = \lambda \boldsymbol{A}+ \lambda \boldsymbol{B}\) (дистрибутивность)

Все, описанное выше, справедливо для векторов.

Скалярное произведение векторов

Скаларное произведение определено для векторов одинаковой размерности как сумма произведений их соответствующих координат.

\[ \boldsymbol{a}= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{pmatrix} \\ \boldsymbol{b}= \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & \dots & b_n \end{pmatrix}\\ \] \[ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}= a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n \]

Векторное произведение векторов

мы рассматривать не будем :)

Произведение матриц (матричное умножение)

Ну, вот и начался треш.

Умножение определено для матриц \(\boldsymbol{A}_{n × k}\) и \(\boldsymbol{B}_{k × m}\), то количество столбцов матрицы, стоящей слева от знака умножения, должно быть равно количество строк матрицы, стоящей справа от знака умножения.

Произведением матрицы \(\boldsymbol{A}_{n × k}\) на матрицу \(\boldsymbol{B}_{k × m}\) называется матрица \(\boldsymbol{C}_{n × m}\), элемент которой \(c_{ij}\) равен скалярному произведению \(i\)-го вектора-строки матрицы \(\boldsymbol{A}\) и \(j\)-го вектора-столбца матрицы \(\boldsymbol{B}\).

Пусть \[ \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} \boldsymbol{a}_1 \\ \boldsymbol{a}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nk} \end{pmatrix}, \\ \boldsymbol{B}= \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2 & \dots \boldsymbol{b}_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1m} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{k1} & b_{k2} & \dots & b_{km} \end{pmatrix} \]

Тогда,

\[ \boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B}= \begin{pmatrix} \boldsymbol{a}_1 \cdot \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{a}_1 \cdot \boldsymbol{b}_2 & \dots & \boldsymbol{a}_1 \cdot \boldsymbol{b}_m \\ \boldsymbol{a}_2 \cdot \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{a}_2 \cdot \boldsymbol{b}_2 & \dots & \boldsymbol{a}_2 \cdot \boldsymbol{b}_m \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \boldsymbol{a}_n \cdot \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{a}_n \cdot \boldsymbol{b}_2 & \dots & \boldsymbol{a}_n \cdot \boldsymbol{b}_m \\ \end{pmatrix} = \\ = \begin{pmatrix} (a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} + \dots + a_{1k}b_{k1}) & (a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} + \dots + a_{1k}b_{k2}) & \dots & (a_{11} b_{1m} + a_{12} b_{2m} + \dots + a_{1k}b_{km}) \\ (a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} + \dots + a_{2k}b_{k1}) & (a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} + \dots + a_{2k}b_{k2}) & \dots & (a_{21} b_{1m} + a_{22} b_{2m} + \dots + a_{2k}b_{km}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (a_{n1} b_{11} + a_{n2} b_{21} + \dots + a_{nk}b_{k1}) & (a_{n1} b_{12} + a_{n2} b_{22} + \dots + a_{nk}b_{k2}) & \dots & (a_{n1} b_{1m} + a_{n2} b_{2m} + \dots + a_{nk}b_{km}) \end{pmatrix} = \\ = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1m} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \dots & c_{nm} \end{pmatrix} = \boldsymbol{C} \]

\[ c_{ij} = \sum_{t=1}^k a_{it} b_{tj} \]

Вот так вот.

Cвойства произведения матриц:

  1. \(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) = (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) \boldsymbol{C}\) (ассоциативность)
  2. \(\lambda (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = (\lambda \boldsymbol{A}) \boldsymbol{B}= (\lambda \boldsymbol{B}) \boldsymbol{A}\) (ассоциативность)
  3. \(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+ \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+ \boldsymbol{A}\boldsymbol{C}\) (дистрибутивность)
  4. \((\boldsymbol{A}+ \boldsymbol{B}) \boldsymbol{C}= \boldsymbol{A}\boldsymbol{C}+ \boldsymbol{B}\boldsymbol{C}\) (дистрибутивность)
  5. \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\neq \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\) (отсутствие коммутативности)
  6. \(\boldsymbol{E}\boldsymbol{A}= \boldsymbol{A}; \, \boldsymbol{A}\boldsymbol{E}= \boldsymbol{A}\) (умножение на единичный элемент)
  7. \(\boldsymbol{O}\boldsymbol{A}= \boldsymbol{O}; \, \boldsymbol{A}\boldsymbol{O}= \boldsymbol{O}\) (умножение на нулевой элемент)
  8. \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A}= \boldsymbol{E}\) (умножение на обратную матрицу — только для некоторых квадратных матриц)

Матричное умножение определено для векторов-столбцов (матриц-столбцов) и векторов-строк (матриц-строк) и выполняется по тем же правилам.

Транспонирование матрицы

В матрице строки и столбцы можно поменять местами — получится транспонированная матрица.

\[ \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} \boldsymbol{a}_1 \\ \boldsymbol{a}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nk} \end{pmatrix} \] \[ \boldsymbol{A}^\mathrm{T}= \begin{pmatrix} \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \dots & \boldsymbol{a}_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1k} & a_{2k} & \dots & a_{nk} \end{pmatrix} \] Транспонированная матрица будем иметь размер \(k × n\).



Задание

Дано: \[ \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} , \quad \boldsymbol{B}= \begin{pmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 0 \end{pmatrix} , \\ \boldsymbol{a}= \begin{pmatrix} 11 & 22 & 33 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{b}= \begin{pmatrix} 101 \\ 102 \\ 103 \end{pmatrix}. \]

Вычислить:

  1. \(\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B}\)
  2. \(\boldsymbol{B}\times \boldsymbol{A}\)
  3. \(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}\)
  4. \(\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{a}\)
  5. \(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{a}^\mathrm{T}\)

Чтобы проверить ответ, введите в соответствующее поле значения элементов матрицы построчно. Элементы одной строки разделяйте пробелами, строки разделяйте запятыми.