где каждой букве будет соответствовать её порядковый номер в алфавите.
Мощность множества
характеристика, описывающая, сколько элементов содержит данное множество
Множества могут быть конечными и бесконечными.
Если множество конечно, то его мощность равна количеству его элементов.
Например, множество очков, которое может выпаcть на стандартном игральном кубике — это \(S_1 = \{1,2,3,4,5,6\}\). Его мощность равна 6 — \(|S_1| = 6\).
Множество значений пятибалльной шкалы Ликерта — это \(S_2 = \{1, 2, 3, 4, 5\}\). Его мощность равна 5 — \(|S_2| = 5\).
Если множество бесконечно, то надо понять, насколько оно бесконечно.
Бесконечные множества
Если можно построить отображение, в котором каждом элементу некоторого множества \(S\) будет сопоставлено единственное натуральное число, то такое множество называется счётным.
Это значит, что элементов во множестве \(S\) бесконечное количество — так как количество натуральных чисел бесконечно — однако при неограниченном количестве времени их все-таки можно пересчитать.
Мощность такого множетсва обозначается \(\aleph_0\), то есть \(|\mathbb{N}| = \aleph_0\).
Если количество элементов множества больше количества натуральных чисел, то такое множество обладает мощностью континуума\(\aleph_1\).
Это множество будет равномощно множеству вещественных чисел \(\mathbb{R}\).
Числовая последовательность — это последовательность любых чисел.
\[
(x_n)^\infty_{n=1}
\]
\(x_n\) — это некоторый элемент последовательности
верхний и нижний индексы обозначают границы изменения индекса \(n\).
Например, \(\langle 1,-1,1,-1,\dots \rangle\) — это числовая последовательность, которую можно обозначить \(\big( (-1)^n \big)^\infty_{n=1}\).
Монотонная последовательность
это последовательность, которая
не возрастает — то есть стоит на месте или убывает
или не убывает — то есть стоит на месте или возрастает
Предел последовательности
Если существует такой объект (число), к которому элементы последовательности приближаются с ростом номера, то он является пределом этой последовательности.
отрицательными элементы данной последовательности быть не могут
когда-то последовательность упрётся в ноль.
Формальное определение предела последовательности
Число \(a\) называется пределом последовательности\(\{x_n\}\), если для любого положительного числа \(\varepsilon\) существует номер \(N_\varepsilon\), такой что для любого \(n > N_\varepsilon\), выполняется равенство \(|x_n - a| < \varepsilon\), или на математическом:
Функция устанавливает соответствие между элементами двух числовых множеств.
У любой функции есть область определения (множество \(X\)) и область значений (множество \(Y\)). Сама же функция представляет собой множество упорядоченных пар
\[
(x,y) \in X \times Y,
\] таких что
пары существуют для всех элементов \(X\), и
если первые элементы пар равны, то равны и их вторые элементы.
Дискретная функция
Если функция определена на множестве целых чисел \(\mathbb{Z}\), то она будет дискретная, так как между, например, \(1\) и \(2\) будет пусто.
Непрерывная функция
Если функция определена на множестве \(\mathbb{R}\), то она будет непрерывной. Например, функция \(f(x) = x^2\) является непрерывной, как ифункции \(f(x) = \sqrt{x}\) и \(f(x) = \ln(x)\). Если функция непрерывная, то она дифференцируема.
Производная
А раз они дифференцируемы, то мы можем взять производную!
Производная показывает
тангенс угла наклона касательной в данной точке
скорость и направление изменения функции в данной точке
Логика производной
Пусть дана функция \(f(x) = 2x^3 + 3x^2-4x+6\).
Логика производной
Выберем точку \(x_0\), в которой мы хотим определить, куда и с какой скоростью движется наша функция. В этой точке функция имеет значение \(y_0\):
Логика производной
Шагнём на некоторую дистанцию \(\Delta x\) вправо (по направлению оси \(x\)). Назовём эту дистанцию приращением аргумента. В точке \(x_0 + \Delta x\) фунция будет иметь какое-то значение \(y_0 + \Delta y\), где \(\Delta y\) — приращение функции.
Логика производной
Наша функция движется из точки \((x_0,y_0)\) в точку \((x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)\). Имеем следующий треугольник:
Логика производной
Нас интересует угол \(\alpha\) — именно он задает скорость и направление изменения функции. Если мы узнаем, каков угол \(\alpha\) — а точнее \(\tan \alpha\), потому что так проще — то узнаем, куда движется функция.
\[
\tan \alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x}
\]
Ну, хорошо. Но мы шагали достаточно далеко от точки, которая нас интесует. Если мы будем постепенно уменьшать шаг, то получим последовательность
Очень маленькое приращение обозначается \(dx\) (или \(df\) , если это приращение функции). Вот мы и получили производную.
График производной
В точках, где график производной пересекает ось \(x\) — то есть там, где производная равна нулю — на исходной функции случаются точки смены монотонности — точки минимума и максимума.
Функции нескольких переменных
Мы хорошо знакомы с функциями одной переменной, где некий \(y\) зависит от некоего \(x\) и более ни от чего не зависит. Однако в общем случае никто нам не может помешать задать следующую функцию:
\[
f(x, y) = 2x^2 + y^3
\]
Теперь у нас две переменные — \(x\) и \(y\) — и от них обоих зависит значение функции. Это даже можно изобразить:
Частная производная
мы можем смотреть, как изменяются значения функции при изменении каждой переменной в отдельности
для этого существуют частные производные.
при взятии частной производной все другие переменные, по которым мы не берём производную в данный момент, считаются константами
Частная производная. Пример
Рассмотрим на примере нашей функции \(f(x, y) = 2x^2 + y^3\). Пусть мы хотим взять производную по \(x\). Тогда мы предполагаем следующее:
\[
y = \text{const}\Rightarrow y^3 = \text{const}= c
\]
Фцнкция примет следующий вид:
\[
f(x, y) = 2x^2 + c,
\]
а производная по \(x\) будет вычисляться следующим образом:
Знакомство с вычислением частной производной понадобится нам, чтобы понять, как внутри устроена линейная регрессия и ухватить идею градиентного спуска.
Площадь под графиком
Пусть у нас есть функция \(y = \sqrt{x}\). Нам надо найти площадь под её графиком на отрезке от \(0\) до \(3\).
Площадь под графиком
Мы можем разбить этот отрезок на части размером \(\Delta x\), а саму площадь на соответствующие прямоугольники. Это нам позволит оценить площадь. На рисунке ниже \(\Delta x = 0.25\).
Площадь под графиком
Получается, площадь можно оценить, сложив площади всех прямоугольников:
\[
S \approx \sum_{i=1}^n y_i \Delta x
\]
Чем более узкими прямоугольники у нас будут, тем точнее мы будем знать площадь. Ниже представлены рисунки для случая \(\Delta x = 0.1\) и \(\Delta x = 0.05\).
Определенный интеграл
Чтобы вычислить площадь точно, снова воспользуемся пределами, и определим с их помощью определенный интеграл:
\[
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{i = 1}^n y_i \Delta x = \int_a^b \sqrt{x}\,dx
\]
Определенный он потому, что мы знаем, площадь в каких границах нас интересует. Определённый интеграл — это число.
\[
\int_0^3 \sqrt{x} \, dx \approx 3.46
\]
Неопределенный интеграл
Неопределённый интеграл (первообразная) — это такая функция \(F(x)\), производная которой \(F'(x)\) равняется \(f(x)\), то есть исходной функции. Таким образом, справедливо равенство
Матрица характеризуется размером. В размере сначала указывается количество строк, затем — количество столбцов. Рассматриваемая нами матрица \(\mathbf{A}\) имеет размер \(n \times m\), что можно записать как \(\mathbf{A}_{n \times m}\).
Если количество строк и столбцов в матрице совпадает, она называется квадратной.
В матрице есть главная диагональ — слева сверху вправо вниз — и побочная диагональ — справа сверху влево вниз.
Квадратная матрица, все элементы которой, кроме стоящий на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей.
Есть две замечательные матрицы: единичная \(\mathbf{I}\) (или \(\mathbf{E}\)) и нулевая \(\mathbf{O}\).
Отсутствие коммутативности: в общем случае \(\mathbf{A}\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\mathbf{A}\)
Умножение на единичный элемент: \(\mathbf{I}\mathbf{A} = \mathbf{A}\), \(\mathbf{A}\mathbf{I} = \mathbf{A}\)
Умножение на нулевой элемент: \(\mathbf{O}\mathbf{A} = \mathbf{O}\), \(\mathbf{A}\mathbf{O} = \mathbf{O}\)
Умножение на обратный элемент — выполняется только для некоторых квадратных матриц (см. ниже): \(\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} = \mathbf{I}\)
Определитель (детерминант) матрицы\(\det \mathbf{A}\), \(|\mathbf{A}|\), \(\Delta A\) — это величина, которая «определяет» свойства матрицы, в том числе одно из ключевых — её обратимость.
Если матрица не является квадратной, то детерминант не определен.
Если детерминант матрицы не равен нулю, то:
система линейных уравнений, задаваемая данной матрицей имеет единственное решение
для данной матрицы существует обратная матрица, обладающая следующим свойством — \(\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}\).
Если детерминан матрицы равен нулю, то система линейных уравнений имеет несколько решений.
Одной из причин может быть линейная зависимость между столбцами или строками матрицы — то есть ситуация, при который один из столбцов (одна из строк) линейной выражается через другой (другую).
След матрицы
След матрицы — это сумма элементов главной диагонали (квадратной) матрицы.
